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Question

(B) दी गई सीमा $1^{\infty}$ रूप की है।हम सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {(1 + f(x))^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty }

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$\frac{3}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दी गई सीमा $1^{\infty}$ रूप की है।हम सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {(1 + f(x))^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } f(x)g(x)}$ का उपयोग करते हैं।यहाँ,$f(x) = \frac{a}{x} - \frac{4}{x^2}$ और $g(x) = 2x$ है।अतः,सीमा $e^{\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } (\frac{a}{x} - \frac{4}{x^2}) \cdot 2x} = e^3$ हो जाती है।घातांक को सरल करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } (\frac{2ax}{x} - \frac{8x}{x^2}) = \mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } (2a - \frac{8}{x}) = 2a - 0 = 2a$।इस प्रकार,$e^{2a} = e^3$ है।घातांकों की तुलना करने पर,$2a = 3$,जिससे $a = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x} - \frac{4}{{{x^2}}}} \right)^{2x}} = {e^3},$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \left[ \frac{100x}{\sin x} \right] + \left[ \frac{99 \sin x}{x} \right] \right)$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{x \cdot 2^x - x}{1 - \cos x}$ और $g(x) = 2^x \sin \left( \frac{\ln 2}{2^x} \right)$,तो:

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}-1) \sin^{2}(\pi x)}{x^{4}-2x^{3}+2x-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2x^2-3x+5)(3x-1)^{x/2}}{(3x^2+5x+4)\sqrt{(3x+2)^x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिए गए सीमा (limit) का मूल्यांकन करें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{ax+b}{cx+1}$

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